Kümeler
Küme, nesnelerin iyi tanımlanmış
listesidir.Kümeler genellikle A, B, C gibi büyük harflerle gösterilir.
Ş
s(A) = 3 tür. denk
kümeler denir.º
DÆ
sembolleri ile gösterilir.
Kümeyi oluşturan ögelere, kümenin
elemanı denir. a elemanı A kümesine ait ise, Î
A biçiminde yazılır. “a, A kümesinin elemanıdır.”
diye okunur. b elemanı A kümesine ait değilse, b Ï
A biçiminde yazılır. “b, A kümesinin
elemanı değildir.” diye
okunur.
a
Kümede, aynı eleman bir kez yazılır.
Elemanların yerlerinin değiştirilmesi
kümeyi değiştirmez.
A kümesinin eleman sayısı s(A)
ya da n(A) ile gösterilir.
B. KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ
Kümenin elemanları aşağıdaki 3 yolla gösterilebilir.
1. Liste Yöntemi
Kümenin elemanları { } sembolü içine, her bir elemanın
arasına virgül konularak yazılır.
A = {a, b, {a, b, c}}
2. Ortak Özellik Yöntemi
Kümenin elemanları, daha somut ya da daha kolay algılanır
biçimde gerektiğinde sözel, gerektiğinde matematiksel bir
ifade olarak ortaya koyma biçimidir.
A = {x : (x in özelliği)}
Burada “x :” ifadesi “öyle x lerden oluşur ki”
diye okunur.
Bu ifade “x |” biçiminde de yazılabilir.
3. Venn Şeması Yöntemi
Küme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile
gösterilip noktanın yanına elemanın adı yazılarak
gösterilir.
Bu gösterime Venn Şeması ile gösterim denir.
Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir.
Eleman sayıları eşit olan kümelere
C. EŞİT KÜME, DENK KÜME
A kümesi B kümesine eşit ise A = B,
C kümesi D kümesine denk ise C
biçiminde gösterilir.
Eşit
olan kümeler ayın zamanda denktir. Fakat denk kümeler eşit
olmayabilir.
D. BOŞ KÜME
Hiç bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir.
Boş küme { } ya da
Eşit olan kümeler ayın zamanda denktir. Fakat denk kümeler
eşit olmayabilir.
{.} ve {0} kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip
iki denk kümedir.
{Æ}
ve {0} kümeleri boş küme olmayıp birer elemana
sahip iki denk kümedir.
E. ALT KÜME - ÖZALT KÜME
1. Alt Küme
A kümesinin her elemanı, B kümesinin de elemanı ise A ya
B nin alt kümesi denir.
A kümesi B kümesinin alt kümesi ise A Ì
B biçiminde gösterilir.
A kümesi B kümesinin alt kümesi ise B kümesi
A kümesini kapsıyor denir. B É
A biçiminde gösterilir.
C kümesi D kümesinin alt kümesi değilse
C Ë
D biçiminde gösterilir. Û
A = B dir.Ï
A, A Ì E} dir. E
= Æ iv) A È
A = E ve A Ç
A = Æ
dir. v) A È
B = A Ç
BÌ
B ise, B Ì
A dir.D
B (Simetrik Fark)
2. Özalt Küme
Bir kümenin, kendisinden farklı bütün alt kümelerine o kümenin
özalt kümeleri denir.
3. Alt Kümenin Özellikleri
i) Her küme kendisinin alt kümesidir.
A Ì
A
ii) Boş küme her kümenin alt kümesidir.
Æ Ì
A
iii) (A Ì
B ve B Ì A)
ıv) (A Ì
B ve B Ì C) Ş
A Ì C dir.
v) n
elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2n
ve özalt kümelerinin sayısı 2n – 1 dir.
vı) n
elemanlı bir kümenin r tane (n ³
r) elemanlı alt kümelerinin sayısı
F. KÜMELERLE YAPILAN İŞLEMLER
1. Kümelerin Birleşimi
A nın elemanlarından veya B nin elemanlarından oluşan
kümeye bu iki kümenin birleşim kümesi denir ve A È
B biçiminde gösterilir.
A È B = {x : x Î
A veya x Î B} dir.
2. Birleşim Işleminin Özellikleri
i) A È
Æ = A
ii) A È
A = A
iii) A È
B = B È A
ıv) A È
(B È C) = (A È
B) È C
v) A Ì
B ise, A È B = B
vı) A È
B = Æ ise, (A = Æ
ve B = Æ) dir.
3. Kümelerin Kesişimi
A ve B kümesinin ortak elemanlarından oluşan
kümeye A ile B nin kesişim kümesi denir ve A Ç
B
biçiminde gösterilir.
A Ç B = {x : x Î
A ve x Î B} dir.
4. Kesişim Işleminin Özellikleri
i) A Ç
Æ = Æ
ii) A Ç
A = A
iii) A Ç B =
B Ç A
ıv) (A Ç
B) Ç C = A Ç
(B Ç C)
v) A Ç
(B È C) = (A Ç
B) È (A Ç
C)
vı) A È
(B Ç C) = (A È
B) Ç (A È
C)
G. EVRENSEL KÜME
Üzerinde işlem yapılan, bütün kümeleri kapsayan kümeye,
evrensel küme denir. Evrensel küme genellikle E ile gösterilir.
H. BİR KÜMENİN TÜMLEYENİ
Evrensel kümenin elemanı olup, A kümesinin elemanı
olmayan elemanlardan oluşan kümeye A nın tümleyeni denir ve A
ya da A’ ile gösterilir.
A = {x : x Î
E ve x
Tümleyenin Özellikleri
i)
ii) Æ
= E
iii) (
)
= A
vı) A Ç
B = A È
B
vıı) E È
A = E ve E Ç
A = A
dir.vııı) A
I. KUVVET KÜMESI
Bir kümenin bütün alt kümelerin kümesine kuvvet kümesi denir.
Kuvvet kümesi P(A) ile gösterilir.
s(A) = n ise, s(P(A)) = 2n dir.
J. İKİ KÜMENİN FARKI
A kümesinde olup, B kümesinde olmayan elemanların kümesine A
fark B kümesi denir. A fark B kümesi A – B ya da A B biçiminde gösterilir.
A – B = {x : x Î
A ve x Ï
B} dir.
Farkla Ilgili Özellikler
A, B, C kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere,
ıv) (A – B) È
(B – A) = A
i) E – A = A
ii) A – B = A Ç
B
iii) A – B = A
È B dir.
K. ELEMAN SAYISI
A, B, C herhangi birer küme olmak üzere,
i) s(A È
B) = s(A) + s(B) – s(A Ç
B)
ii) s(A È
B È C) = s(A) + s(B)
+ s(C) – s(A Ç B)
– s(A Ç C)
– s(B Ç
C) + s(A Ç B Ç
C)
iii) s(A È B)
= s(A – B) + s(A Ç
B) + s(B – A)
ıv) a + b + c + d tane öğrencinin bulunduğu bir sınıfta
voleybol oynayan öğrencilerin sayısı s(V) = b + c, tenis
oynayan öğrencilerin sayısı s(T) = a + b, voleybol ve
tenis oynayan öğrencilerin sayısı s(T Ç
V) = b olsun.
Tenis veya voleybol oynayanların sayısı:
s(T È
V) = a + b + c
Tenis ya da voleybol oynayanların sayısı:
s(T – V) + s(V – T) = a + c
Sadece tenis oynayanların sayısı:
s(T – V) = a
Tenis oynamayanların sayısı:
s(T) =
c + d
Bu iki oyundan en az birini oynayanların sayısı:
s(T È
V) = a + b + c
Bu iki oyundan en çok birini oynayanların sayısı:
s(A Ç
B) = s(A È
B) + s(T – V) + s(V – T) = d + a + c
Bu iki oyundan hiç birini oynamayanların sayısı:
s(A È
B) = d
