Permütasyon!
PERMÜTASYON
A. SAYMANIN TEMEL KURALI
1) Ayrık iki işlemden biri m yolla, diğeri n yolla yapılabiliyorsa, bu
işlemlerden biri veya diğeri m + n yolla yapılabilir. 1) P(n,
n) = n! 2) P(n, 1) = n 3) P(n, n – 1) = n! dir.
Herhangi üçü doğrusal olmayan, aynı düzlemde bulunan n tane noktayla;
2) İki işlemden birincisi m yolla yapılabiliyorsa ve ilk işlem bu m yoldan
birisiyle yapıldıktan sonra ikinci işlem n yolla yapılabiliyorsa bu iki işlem birlikte
m . n yolla yapılabilir.
B. FAKTÖRİYEL
1 den n ye kadar olan sayma sayılarının çarpımına n faktöriyel denir ve
n! biçiminde gösterilir.
0! = 1 olarak tanımlanır.
1! = 1
2! = 1 . 2
……………..
……………..
……………..
n! = 1 . 2 . 3 . … . (n – 1) . n
Ü n! = n . (n – 1)!
Ü (n – 1)! = (n – 1) . (n – 2)! dir.
C. TANIM
r ve n sayma sayısı ve r £ n olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r elemanlı sıralı
r lilerine bu kümenin r li permütasyonları denir.
n elemanlı kümenin r li permütasyonlarının sayısı,
D. TEKRARLI PERMÜTASYON
n tane nesnenin; n1 tanesi 1. çeşitten, n2 tanesi 2. çeşitten,
… , nr tanesi de r yinci çeşitten olsun.
n = n1 + n2 + n3 + … + nr
olmak üzere, bu n tane nesnenin n li permütasyonlarının sayısı,
E. DAİRESEL (DÖNEL) PERMÜTASYON
n tane farklı elemanın dönel (dairesel) sıralanmasına, n elemanın dairesel sıralaması
denir.
n elemanın dairesel sıralamalarının sayısı :
(n – 1)! dir.
n tane farklı anahtarın yuvarlak (halka biçimindeki) bir anahtarlığa
sıralanmalarının sayısı :
II. KOMBİNASYON
TANIM
r ve n birer doğal sayı ve r £ n olmak üzere, n elemanlı bir A kümesinin
r elemanlı alt kümelerinin her birine, A kümesinin r li kombinasyonu (gruplaması)
denir.
n elemanın r li kombinasyonlarının sayısı
Permütasyonda sıralama, kombinasyonda ise seçme söz konusudur.
Ü n kenarlı düzgün bir çokgenin köşegen
sayısı:
a) Çizilebilecek doğru sayısı
b) Köşeleri bu noktalar üzerinde olan
tane üçgen çizilebilir.
Aynı düzlemde birbirine paralel
olmayan n tane doğru en çok
farklı noktada kesişirler.
Ü Aynı düzlemde bulunan doğrulardan
n tanesi birbirine paralel ve bu n tane doğruya paralel olmayan diğer m tane doğru
da birbirine paraleldir.
Düzlemde kenarları bu doğrular üzerinde olan
tane paralelkenar oluşur.
Ü Aynı düzlemde yarıçapları farklı
n tane çemberin en çok
tane kesim noktası vardır.
III. BİNOM AÇILIMI
A. TANIM
n Î IN olmak üzere,
ifadesine binom açılımı denir.
Burada;
sayılarına binomun katsayıları denir.
ifadelerinin her birine terim denir.
ifadesinde
katsayı, xn – 1 ve yr ye de terimin
çarpanları denir.
B. (x + y)n AÇILIMININ ÖZELLİKLERİ
1) (x + y)n açılımında (n + 1) tane terim vardır.
2) Her terimdeki x ve y çarpanlarının üslerinin top-lamı
n dir.
3) Katsayılar toplamını bulmak için değişkenler yerine 1
yazılır. Buna göre, (x + y)n nin katsayılarının toplamı (1 + 1)n
= 2n dir.
4) (x + y)n ifadesinin açılımı x in azalan kuvvetlerine
göre dizildiğinde;
baştan (r + 1). terim :
sondan (r + 1). terim :
(x – y)n ifadesinin açılımında 1. terimin işareti (+),
2. terimin işareti (–), 3. terimin işareti (+) … dır.
Kısaca; y nin üssü çift sayı olan terimin işareti (+), tek sayı
olan terimin işareti (–) dir.
Ü n Î N+
olmak üzere,
(x + y)2n nin açılımında ortanca terim
Ü n Î IN+
olmak üzere,
(xm +
)n açılımındaki sabit terim,
ifadesinde m . (n – r) – kr = 0 koşulunu sağlayan n ve r değerleri
yazılarak bulunur.
Ü c bir gerçel sayı olmak üzere, (x
+ y + c)n açılımındaki sabit terimi bulmak için
x = 0 ve y = 0 yazılır.
Ü (a + b + c)n nin açılımında
ak . br . cm li terimin katsayısı;
